El teorema relaciona los lados de un triángulo rectángulo, es decir, uno que contiene un ángulo de 90°. Los lados que forman ese ángulo son los catetos; el lado opuesto es la hipotenusa.
1. La hipotenusa siempre es el lado mayor
La hipotenusa se encuentra frente al ángulo recto y suele representarse con c. Como su cuadrado equivale a la suma de dos cantidades positivas, debe ser más larga que cualquiera de los catetos.
a² + b² = c²2. Sumar para la hipotenusa, restar para un cateto
Si conoces los dos catetos, eleva ambos al cuadrado, suma y extrae la raíz:
c = √(a² + b²)Con a = 3 y b = 4, c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Si conoces la hipotenusa y un cateto, resta el cuadrado del cateto conocido antes de extraer la raíz:
a = √(c² − b²)Con c = 13 y b = 5, el otro cateto mide √(169 − 25) = √144 = 12. Una hipotenusa menor o igual que el cateto conocido produciría una medida nula o imposible.
3. El teorema inverso comprueba un ángulo recto
Ordena tres longitudes de menor a mayor y llama c a la mayor. Si a² + b² = c², forman un triángulo rectángulo. Esta propiedad permite comprobar escuadras y diagonales sin medir directamente el ángulo.
| Terna | Comprobación |
|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8, 15, 17 | 64 + 225 = 289 |
Cualquier escala común conserva la relación: 6, 8 y 10 forman el mismo tipo de triángulo que 3, 4 y 5.
4. Área, perímetro y ángulos agudos
Como los catetos son perpendiculares, uno puede utilizarse como base y el otro como altura:
Área = a × b ÷ 2 · Perímetro = a + b + cLos otros dos ángulos suman 90°. Si α está frente al cateto a, puede calcularse con sen α = a/c; el ángulo restante es 90° − α.
Longitudes y perímetros conservan la unidad original. Las áreas utilizan la unidad elevada al cuadrado: m², cm² o la que corresponda.
Cuándo no basta este teorema
- Un triángulo sin ángulo recto necesita otras relaciones, como las leyes de senos o cosenos.
- Las medidas deben representar longitudes en la misma unidad.
- No debe redondearse el valor intermedio antes de calcular área, perímetro o ángulos.
- La hipotenusa nunca puede tomarse como base o altura perpendicular junto a un cateto.
- Una aproximación decimal debe distinguirse de una igualdad exacta.
Ponlo en práctica