El teorema relaciona los lados de un triángulo rectángulo, es decir, uno que contiene un ángulo de 90°. Los lados que forman ese ángulo son los catetos; el lado opuesto es la hipotenusa.
1. La hipotenusa siempre es el lado mayor
La hipotenusa se encuentra frente al ángulo recto y suele representarse con c. Como su cuadrado equivale a la suma de dos cantidades positivas, debe ser más larga que cualquiera de los catetos.
a² + b² = c²2. Sumar para la hipotenusa, restar para un cateto
Si conoces los dos catetos, eleva ambos al cuadrado, suma y extrae la raíz:
c = √(a² + b²)Con a = 3 y b = 4, c = √(9 + 16) = √25 = 5.
Si conoces la hipotenusa y un cateto, resta el cuadrado del cateto conocido antes de extraer la raíz:
a = √(c² − b²)Con c = 13 y b = 5, el otro cateto mide √(169 − 25) = √144 = 12. Una hipotenusa menor o igual que el cateto conocido produciría una medida nula o imposible.
Identifica el lado que se eleva solo al cuadrado
La hipotenusa no se elige por su orientación en la página: es el lado opuesto al ángulo recto. En el dibujo, sus 5 unidades cumplen 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Comprueba la idea: Si conoces la hipotenusa 5 y un cateto 4, ¿sumas o restas sus cuadrados?
Ver la explicación
Restas: el otro cateto mide √(5² − 4²) = √9 = 3. Sumar correspondería a buscar la hipotenusa a partir de ambos catetos.
Un lado, un cuadrado
Pitágoras se ve en las áreas
Construye un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo. Al cambiar los catetos, cambian los tres cuadrados, pero se mantiene la relación a² + b² = c².
Ejemplo resuelto: los catetos 3 y 4 dan una hipotenusa de 5. Las áreas de sus cuadrados son 9, 16 y 25 u². Activa JavaScript para cambiar los lados o girar la figura.
Cuadrado del cateto aa² = 9 u²
Cuadrado del cateto bb² = 16 u²
Cuadrado de la hipotenusac² = 25 u²
Las dos áreas suman la tercera
9 + 16 = 25 u²
c = 5 u
Hipotenusa entera: 5 × 5 = 25.
Los tres cuadrados comparten la misma escala dentro de cada dibujo. La figura se ajusta al espacio disponible al mover los controles: compara las medidas, no el tamaño en pantalla entre dos ejemplos.
Del cuadrado a la longitud del lado
3² + 4² = 9 + 16 = 25. El área del cuadrado de c es 25 u²; su lado mide √25 = 5 u.
u representa una unidad de longitud, como un centímetro. u² representa una unidad de superficie. No se suman los lados para obtener c: se suman sus cuadrados y después se toma la raíz positiva.
¿Y el área del triángulo?
Área del triángulo = (3 × 4) / 2 = 6 u².
Esta es la superficie del triángulo central, no la de los cuadrados de colores. Los catetos sirven como base y altura porque son perpendiculares.
Qué cambia al duplicar los lados
Compara 3, 4 y 5 con 6, 8 y 10: cada longitud se multiplica por 2. Los cuadrados pasan de 9, 16 y 25 a 36, 64 y 100 u²: sus áreas se multiplican por 4. También el área del triángulo pasa de 6 a 24 u². El botón «El doble de 3 y 4» carga este segundo ejemplo.
La forma se conserva. Girarla tampoco cambia la relación: c sigue siendo el lado frente a los 90°. Esta igualdad requiere un triángulo rectángulo; no se aplica sin más a cualquier triángulo.
Dibujo y ejemplos propios. Referencia: OpenStax: triángulos y teorema de Pitágoras. No se guarda ni envía ningún dato.
3. El teorema inverso comprueba un ángulo recto
Ordena tres longitudes de menor a mayor y llama c a la mayor. Si a² + b² = c², forman un triángulo rectángulo. Esta propiedad permite comprobar escuadras y diagonales sin medir directamente el ángulo.
| Terna | Comprobación |
|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8, 15, 17 | 64 + 225 = 289 |
Cualquier escala común conserva la relación: 6, 8 y 10 forman el mismo tipo de triángulo que 3, 4 y 5.
4. Área, perímetro y ángulos agudos
Como los catetos son perpendiculares, uno puede utilizarse como base y el otro como altura:
Área = a × b ÷ 2 · Perímetro = a + b + cLos otros dos ángulos suman 90°. Si α está frente al cateto a, puede calcularse con sen α = a/c; el ángulo restante es 90° − α.
Longitudes y perímetros conservan la unidad original. Las áreas utilizan la unidad elevada al cuadrado: m², cm² o la que corresponda.
Cuándo no basta este teorema
- Un triángulo sin ángulo recto necesita otras relaciones, como las leyes de senos o cosenos.
- Las medidas deben representar longitudes en la misma unidad.
- No debe redondearse el valor intermedio antes de calcular área, perímetro o ángulos.
- La hipotenusa nunca puede tomarse como base o altura perpendicular junto a un cateto.
- Una aproximación decimal debe distinguirse de una igualdad exacta.
Ponlo en práctica