La combinatoria permite contar posibilidades sin escribirlas una por una. Dos problemas con los mismos valores n y r pueden tener respuestas muy distintas si cambia el significado del orden o de la repetición.
1. Tres preguntas para elegir la fórmula
- ¿Se utilizan todos los elementos? Si ordenas todos, se trata de una permutación.
- ¿El orden cambia el resultado? Un podio sí distingue primero y segundo; un comité normalmente no.
- ¿Puede repetirse una elección? Elegir tres bolas sin devolverlas no es igual que poder devolver cada bola antes de la siguiente extracción.
| Situación | Orden | Repetición | Modelo |
|---|---|---|---|
| Ordenar n elementos | Importa | No | Permutación |
| Elegir r puestos entre n | Importa | No | Variación |
| Elegir un grupo de r entre n | No importa | No | Combinación |
| Elegir r unidades entre n tipos | No importa | Sí | Combinación con repetición |
2. Permutaciones y factorial
Una permutación ordena todos los elementos disponibles. Para n elementos distintos existen n factorial órdenes:
n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1Con cinco libros distintos hay 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 órdenes. Por convenio, 0! = 1.
3. Variaciones frente a combinaciones
Una variación elige r elementos y tiene en cuenta su posición. Entre 10 participantes, un podio de tres puestos admite:
V(10,3) = 10! ÷ 7! = 10 × 9 × 8 = 720Una combinación elige el mismo número de elementos, pero considera iguales los grupos que solo cambian de orden. Para un comité de tres personas:
C(10,3) = 10! ÷ (3! × 7!) = 120La simetría C(n,r) = C(n,n−r) también sirve como comprobación: elegir 3 personas que entran equivale a elegir las 7 que quedan fuera.
4. Combinaciones con repetición
Cuando el orden no importa y un tipo puede elegirse varias veces, la fórmula es:
CR(n,r) = C(n + r − 1, r)Si existen cuatro sabores y elegimos tres bolas, permitiendo repetir sabores, hay C(4 + 3 − 1, 3) = C(6,3) = 20 combinaciones.
Esta fórmula cuenta cantidades de cada tipo. No distingue el orden en que se piden las bolas. Si el orden importara, el modelo sería diferente.
Resultados grandes y cálculo exacto
Los factoriales crecen rápidamente. La calculadora realiza multiplicaciones y divisiones enteras para conservar todos los dígitos y muestra cuántos tiene el resultado. La limitación de entrada evita generar cifras tan largas que dejen de ser prácticas en una página.
Errores frecuentes
- Usar una combinación para un problema donde primero y segundo son diferentes.
- Contar varias veces un grupo solo porque se ha escrito en otro orden.
- Permitir repeticiones que el enunciado prohíbe.
- Intentar elegir más elementos que los disponibles sin repetición.
- Calcular factoriales con decimales o números negativos en este contexto elemental.
Ponlo en práctica