La combinatoria permite contar posibilidades sin escribirlas una por una. Dos problemas con los mismos valores n y r pueden tener respuestas muy distintas si cambia el significado del orden o de la repetición.
1. Tres preguntas para elegir la fórmula
- ¿Se utilizan todos los elementos? Si ordenas todos, se trata de una permutación.
- ¿El orden cambia el resultado? Un podio sí distingue primero y segundo; un comité normalmente no.
- ¿Puede repetirse una elección? Elegir tres bolas sin devolverlas no es igual que poder devolver cada bola antes de la siguiente extracción.
| Situación | Orden | Repetición | Modelo |
|---|---|---|---|
| Ordenar n elementos | Importa | No | Permutación |
| Elegir r puestos entre n | Importa | No | Variación |
| Elegir un grupo de r entre n | No importa | No | Combinación |
| Elegir r unidades entre n tipos | No importa | Sí | Combinación con repetición |
2. Permutaciones y factorial
Una permutación ordena todos los elementos disponibles. Para n elementos distintos existen n factorial órdenes:
n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1Con cinco libros distintos hay 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 órdenes. Por convenio, 0! = 1.
3. Variaciones frente a combinaciones
Una variación elige r elementos y tiene en cuenta su posición. Entre 10 participantes, un podio de tres puestos admite:
V(10,3) = 10! ÷ 7! = 10 × 9 × 8 = 720Una combinación elige el mismo número de elementos, pero considera iguales los grupos que solo cambian de orden. Para un comité de tres personas:
C(10,3) = 10! ÷ (3! × 7!) = 120La simetría C(n,r) = C(n,n−r) también sirve como comprobación: elegir 3 personas que entran equivale a elegir las 7 que quedan fuera.
Haz visible cuándo cuenta el orden
En una pareja sin orden, AB y BA describen la misma elección. En una secuencia ordenada son resultados diferentes. La lámina enumera todos los casos de este ejemplo pequeño.
Comprueba la idea: ¿Por qué no aparece AA?
Ver la explicación
Porque hemos prohibido repetir elementos. Permitir la repetición cambiaría el conjunto de resultados y obligaría a elegir otro recuento; no basta con decidir si importa el orden.
Las mismas letras, otra pregunta
¿Elegir un grupo o repartir puestos?
A + B y B + A forman el mismo grupo. Pero poner A en el primer puesto y B en el segundo no es lo mismo que invertirlos. Explora esa diferencia con letras distintas, sin repetir ninguna.
Ejemplo resuelto: elegir 2 de 4 letras da 6 grupos o 12 elecciones ordenadas. El grupo A, B tiene los órdenes A–B y B–A. Activa JavaScript para explorar los demás.
Letras disponibles
Grupos sin orden
6
Combinaciones · solo importa quién está
C(4, 2) = 4! / [2! × 2!] = 6
Elecciones ordenadas
12
Variaciones · el orden importa
V(4, 2) = 4! / 2! = 12
6 grupos × 2! órdenes por grupo = 12 elecciones ordenadas
El símbolo ! indica factorial: 2! = 2 × 1, 3! = 3 × 2 × 1, etc. Recuerda que 0! = 1.
1. Elige un grupo
Aquí están todos los grupos posibles. El signo + reúne sus miembros: no les asigna puestos. Toca uno para ver cómo se puede ordenar.
2. Mira los puestos
Órdenes del grupo A, B
Este grupo aporta 2 de las 12 elecciones ordenadas.
Órdenes 1–2 de 2 · Página 1 de 1
Mostramos hasta seis órdenes a la vez del grupo seleccionado. Cambia de página cuando haya más; cambia de grupo para explorar otras letras.
Cada grupo aporta 2 órdenes distintos. Cambiar los puestos no crea otro grupo: siguen siendo las mismas 2 letras.
¿Por qué las combinaciones dividen entre r!?
Al contar con puestos, cada grupo de r letras distintas aparece r! veces, una por cada orden. Para quedarnos con una sola cuenta por grupo, dividimos el total ordenado entre r!. Si elegimos dos letras, A–B y B–A aportan dos órdenes, pero un solo grupo.
Antes de ver la respuesta
Si eliges las cuatro letras disponibles, ¿queda un único resultado?
Ver la respuesta razonada
Hay un solo grupo: A, B, C y D. Si asignas puestos, hay 4! = 24 resultados distintos. Pulsa «Ordenar todos»: verás un único botón de grupo y cuatro páginas con sus 24 órdenes.
En esta guía llamamos variaciones a las selecciones ordenadas y permutaciones al caso de ordenar todos los elementos. No se guardan ni envían tus elecciones.
Conceptos contrastados con OpenStax: combinaciones y selecciones ordenadas, consultado el 13 de septiembre de 2026. Interacción y presentación propias.
4. Combinaciones con repetición
Cuando el orden no importa y un tipo puede elegirse varias veces, la fórmula es:
CR(n,r) = C(n + r − 1, r)Si existen cuatro sabores y elegimos tres bolas, permitiendo repetir sabores, hay C(4 + 3 − 1, 3) = C(6,3) = 20 combinaciones.
Esta fórmula cuenta cantidades de cada tipo. No distingue el orden en que se piden las bolas. Si el orden importara, el modelo sería diferente.
Resultados grandes y cálculo exacto
Los factoriales crecen rápidamente. La calculadora realiza multiplicaciones y divisiones enteras para conservar todos los dígitos y muestra cuántos tiene el resultado. La limitación de entrada evita generar cifras tan largas que dejen de ser prácticas en una página.
Errores frecuentes
- Usar una combinación para un problema donde primero y segundo son diferentes.
- Contar varias veces un grupo solo porque se ha escrito en otro orden.
- Permitir repeticiones que el enunciado prohíbe.
- Intentar elegir más elementos que los disponibles sin repetición.
- Calcular factoriales con decimales o números negativos en este contexto elemental.
Ponlo en práctica