Una ecuación cuadrática contiene una incógnita elevada al cuadrado y puede escribirse como ax² + bx + c = 0. El coeficiente a debe ser distinto de cero; si fuese cero, desaparecería el término cuadrático y tendríamos una ecuación de primer grado.
1. Ordenar e identificar a, b y c
Lleva todos los términos al mismo miembro, iguala la expresión a cero y ordénala por potencias descendentes. Los signos forman parte de cada coeficiente.
2x² + 8 = 6x → 2x² − 6x + 8 = 0En este ejemplo, a = 2, b = −6 y c = 8. Si falta un término, su coeficiente es cero: en x² − 9 = 0 tenemos a = 1, b = 0 y c = −9.
2. El discriminante anticipa el tipo de solución
Δ = b² − 4ac| Discriminante | Soluciones | Parábola |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos raíces reales diferentes | Corta dos veces el eje x |
| Δ = 0 | Una raíz real doble | Toca el eje x en el vértice |
| Δ < 0 | Dos raíces complejas conjugadas | No corta el eje x |
Calcular primero Δ ayuda a detectar errores: no se puede obtener una raíz cuadrada real de un número negativo, aunque sí puede expresarse el resultado utilizando i, donde i² = −1.
3. Sustituir en la fórmula general
x = (−b ± √Δ) ÷ (2a)Para x² − 5x + 6 = 0, los coeficientes son a = 1, b = −5 y c = 6. El discriminante vale 25 − 24 = 1:
x = (5 ± 1) ÷ 2 → x₁ = 3 · x₂ = 2El símbolo ± genera dos cálculos: uno sumando la raíz del discriminante y otro restándola. Cuando Δ vale cero, ambos caminos producen el mismo valor.
Cuando el discriminante es negativo
En x² + 1 = 0, Δ = −4. Como √−4 = 2i, las soluciones son x = i y x = −i. Forman una pareja conjugada: comparten la parte real y tienen partes imaginarias opuestas.
4. Sustitución y relaciones de Viète
Para comprobar una raíz, sustitúyela en ax² + bx + c. Con x = 3 en el ejemplo anterior:
3² − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0Las dos raíces también cumplen estas relaciones, incluso cuando son complejas:
x₁ + x₂ = −b/a · x₁ × x₂ = c/aEl vértice de la parábola está sobre x = −b/(2a). Su coordenada vertical se obtiene sustituyendo ese valor en la función. Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.
Errores frecuentes
- No igualar la ecuación a cero antes de identificar los coeficientes.
- Olvidar que un término ausente tiene coeficiente cero.
- Calcular b² como si el signo negativo quedara fuera del cuadrado.
- Dividir solo la raíz entre 2a en vez de dividir todo el numerador.
- Redondear el discriminante o las raíces demasiado pronto.
Ponlo en práctica