Una ecuación cuadrática contiene una incógnita elevada al cuadrado y puede escribirse como ax² + bx + c = 0. El coeficiente a debe ser distinto de cero; si fuese cero, desaparecería el término cuadrático y ya no sería una ecuación de segundo grado.
1. Ordenar e identificar a, b y c
Lleva todos los términos al mismo miembro, iguala la expresión a cero y ordénala por potencias descendentes. Los signos forman parte de cada coeficiente.
2x² + 8 = 6x → 2x² − 6x + 8 = 0En este ejemplo, a = 2, b = −6 y c = 8. Si falta un término, su coeficiente es cero: en x² − 9 = 0 tenemos a = 1, b = 0 y c = −9.
2. El discriminante anticipa el tipo de solución
Δ = b² − 4ac| Discriminante | Soluciones | Parábola |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos raíces reales diferentes | Corta dos veces el eje x |
| Δ = 0 | Una raíz real doble | Toca el eje x en el vértice |
| Δ < 0 | Dos raíces complejas conjugadas | No corta el eje x |
Calcular primero Δ ayuda a detectar errores: no se puede obtener una raíz cuadrada real de un número negativo, aunque sí puede expresarse el resultado utilizando i, donde i² = −1.
3. Sustituir en la fórmula general
x = (−b ± √Δ) ÷ (2a)Para x² − 5x + 6 = 0, los coeficientes son a = 1, b = −5 y c = 6. El discriminante vale 25 − 24 = 1:
x = (5 ± 1) ÷ 2 → x₁ = 3 · x₂ = 2El símbolo ± genera dos cálculos: uno sumando la raíz del discriminante y otro restándola. Cuando Δ vale cero, ambos caminos producen el mismo valor.
Cuando el discriminante es negativo
En x² + 1 = 0, Δ = −4. Como √−4 = 2i, las soluciones son x = i y x = −i. Forman una pareja conjugada: comparten la parte real y tienen partes imaginarias opuestas.
Relaciona las raíces con el eje horizontal
Resolver la ecuación significa buscar los valores de x para los que la altura de la curva vale cero. El dibujo permite relacionar la operación algebraica con dos intersecciones concretas.
Comprueba la idea: ¿Por qué el punto más bajo no es una tercera raíz?
Ver la explicación
Porque su altura no es cero: el vértice está en (2,5; −0,25). Las raíces son 2 y 3, donde x² − 5x + 6 sí se anula.
De la fórmula al dibujo
¿Dónde corta la parábola el eje x?
Cambia los coeficientes de ax² + bx + c = 0. La curva representa y = ax² + bx + c: buscamos los valores de x donde su altura es cero.
Ejemplo resuelto: x² − 4 = 0 tiene discriminante 16, raíces −2 y 2, y vértice (0; −4). Activa JavaScript para explorar otros coeficientes.
x² − 4 = 0
Vista fija: x de −8 a 8; y de −16 a 16. Las ramas continúan fuera del recuadro. En este rango de coeficientes caben todas las raíces reales y el vértice. Cada eje usa su propia escala.
Discriminante
Δ = 16
0² − 4 × (1) × (−4) = 16
Dos raíces reales diferentes
x₁ = −2 · x₂ = 2
Resultados mostrados con hasta tres decimales. La gráfica usa los valores sin redondear.
Vértice y simetría
Vértice: (0; −4)
Eje de simetría: x = 0
Abre hacia arriba: el vértice es un mínimo.
Δ > 0: hay dos puntos de altura cero. Las raíces son sus coordenadas x, no los valores de y.
Comprueba las soluciones con Viète
Suma de las dos raíces: −b/a = 0. Producto: c/a = −4.
En una raíz doble contamos el mismo valor dos veces. La suma y el producto también se cumplen para las dos soluciones complejas. Si utilizas los decimales redondeados que ves, la comprobación puede resultar aproximada.
¿No cortar el eje x significa que no hay solución?
Significa que no hay soluciones reales. Con discriminante negativo aparecen dos soluciones complejas conjugadas; sus partes imaginarias son opuestas. No son puntos de intersección en esta gráfica de coordenadas reales.
¿Por qué no se puede elegir a = 0?
Sin término x² ya no hay una ecuación cuadrática. Si b no es cero, queda una ecuación lineal; si también b es cero, queda c = 0, que puede ser una identidad o una igualdad imposible. La fórmula cuadrática no se aplica a esos casos.
Gráfica y ejemplos propios. Referencias: OpenStax: parábolas y ecuaciones cuadráticas. No se guarda ni envía ningún dato.
4. Sustitución y relaciones de Viète
Para comprobar una raíz, sustitúyela en ax² + bx + c. Con x = 3 en el ejemplo anterior:
3² − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0Las dos raíces también cumplen estas relaciones, incluso cuando son complejas:
x₁ + x₂ = −b/a · x₁ × x₂ = c/aEl vértice de la parábola está sobre x = −b/(2a). Su coordenada vertical se obtiene sustituyendo ese valor en la función. Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo.
Errores frecuentes
- No igualar la ecuación a cero antes de identificar los coeficientes.
- Olvidar que un término ausente tiene coeficiente cero.
- Calcular b² como si el signo negativo quedara fuera del cuadrado.
- Dividir solo la raíz entre 2a en vez de dividir todo el numerador.
- Redondear el discriminante o las raíces demasiado pronto.
Ponlo en práctica