Una sucesión es una lista ordenada de números. Una progresión añade una regla regular entre términos: puede sumar siempre la misma cantidad o multiplicar siempre por el mismo factor.
1. Restar o dividir términos consecutivos
Si la resta entre cada término y el anterior permanece constante, la progresión es aritmética. Esa cantidad se denomina diferencia d.
5, 9, 13, 17… → 9 − 5 = 13 − 9 = 4Si el cociente entre términos consecutivos es constante, la progresión es geométrica. Ese factor se denomina razón r.
5, 15, 45, 135… → 15 ÷ 5 = 45 ÷ 15 = 32. Término y suma de una progresión aritmética
Desde el primer término hasta la posición n se realizan n − 1 saltos. Por eso el término general es:
aₙ = a₁ + (n − 1)dPara 2, 5, 8, 11… tenemos a₁ = 2 y d = 3. El término décimo es 2 + 9 × 3 = 29.
La suma de los primeros n términos puede obtenerse promediando el primero y el último y multiplicando por la cantidad de términos:
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2En el ejemplo, S₁₀ = 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155.
3. Término y suma de una progresión geométrica
Cada avance multiplica por r. Después de n − 1 avances, el factor acumulado es r elevado a n − 1:
aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹En 2, 6, 18, 54… el quinto término es 2 × 3⁴ = 162. Si r es distinto de 1, la suma finita se calcula con:
Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)La suma de los cinco primeros términos es 2 × (1 − 3⁵) ÷ (1 − 3) = 242. Cuando r = 1 todos los términos son iguales y la suma se reduce a n × a₁.
4. Qué indican el signo y el tamaño del cambio
| Regla | Comportamiento habitual |
|---|---|
| d > 0 | La progresión aritmética aumenta |
| d < 0 | La progresión aritmética disminuye |
| |r| > 1 | La magnitud geométrica crece |
| 0 < |r| < 1 | La magnitud se aproxima a cero |
| r < 0 | Los signos alternan |
Una razón negativa combina multiplicación y alternancia de signo. Una razón igual a cero produce el primer término seguido de ceros. Estos casos siguen siendo geométricos, aunque no se parezcan al crecimiento exponencial más conocido.
Errores frecuentes
- Usar n en el exponente o en la diferencia cuando desde a₁ solo hay n − 1 pasos.
- Confundir una suma repetida con una multiplicación repetida.
- Aplicar la fórmula geométrica de suma con r = 1, lo que provocaría una división entre cero.
- Suponer que una razón negativa siempre hace disminuir los valores.
- Redondear cada término antes de calcular la suma final.
Ponlo en práctica