Una sucesión es una lista ordenada de números. Una progresión añade una regla regular entre términos: puede sumar siempre la misma cantidad o multiplicar siempre por el mismo factor.
1. Restar o dividir términos consecutivos
Si la resta entre cada término y el anterior permanece constante, la progresión es aritmética. Esa cantidad se denomina diferencia d.
5, 9, 13, 17… → 9 − 5 = 13 − 9 = 4Si el cociente entre términos consecutivos es constante, la progresión es geométrica. Ese factor se denomina razón r.
5, 15, 45, 135… → 15 ÷ 5 = 45 ÷ 15 = 32. Término y suma de una progresión aritmética
Desde el primer término hasta la posición n se realizan n − 1 saltos. Por eso el término general es:
aₙ = a₁ + (n − 1)dPara 2, 5, 8, 11… tenemos a₁ = 2 y d = 3. El término décimo es 2 + 9 × 3 = 29.
La suma de los primeros n términos puede obtenerse promediando el primero y el último y multiplicando por la cantidad de términos:
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2En el ejemplo, S₁₀ = 10 × (2 + 29) ÷ 2 = 155.
3. Término y suma de una progresión geométrica
Cada avance multiplica por r. Después de n − 1 avances, el factor acumulado es r elevado a n − 1:
aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹En 2, 6, 18, 54… el quinto término es 2 × 3⁴ = 162. Si r es distinto de 1, la suma finita se calcula con:
Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)La suma de los cinco primeros términos es 2 × (1 − 3⁵) ÷ (1 − 3) = 242. Cuando r = 1 todos los términos son iguales y la suma se reduce a n × a₁.
El mismo comienzo puede continuar de otra forma
Dos términos no bastan para distinguir estas continuaciones. Las flechas muestran la operación elegida y permiten comprobarla entre cada pareja de términos consecutivos.
Comprueba la idea: ¿Cuál sería el quinto término de cada cadena?
Ver la explicación
15 en la primera, porque 12 + 3 = 15; 48 en la segunda, porque 24 × 2 = 48. Se mantiene la regla de cada cadena, no una mezcla de ambas.
Dos reglas, el mismo comienzo
¿Sumar dos o multiplicar por dos?
Partimos del mismo primer término. En la aritmética sumamos una diferencia d; en la geométrica multiplicamos por una razón r. Cambia las reglas y observa cómo se separan los resultados.
Ejemplo resuelto: con inicio 2, diferencia 2, razón 2 y cinco términos, la aritmética termina en 10 y suma 30; la geométrica termina en 32 y suma 62. Activa JavaScript para explorar los controles.
5 términos, pero 4 saltos desde el primero hasta el último.
Las dos gráficas comparten escala vertical: de 0 a 50. La escala se adapta a los datos.
Aritmética: sumar d
En cada salto: sumar 2.
- Término 5
- 10
- Suma de los 5 términos
- 30
a₅ = 2 + (5 − 1) × (2) = 10
d es positivo: los términos aumentan.
Geométrica: multiplicar por r
En cada salto: multiplicar por 2.
- Término 5
- 32
- Suma de los 5 términos
- 62
a₅ = 2 × (2)⁴ = 32
La magnitud se duplica en cada salto; el signo se mantiene.
Representamos posiciones enteras: no hay términos intermedios entre dos marcadores. El eje deja espacio para ocho posiciones, pero solo dibujamos las elegidas. Las líneas verticales miden cada valor desde cero. Si una serie crece mucho, los valores pequeños pueden parecer pegados al cero: consulta la tabla.
| Posición | Aritmética | Geométrica |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 4 |
| 3 | 6 | 8 |
| 4 | 8 | 16 |
| 5 | 10 | 32 |
El término final no es la suma: aquí la aritmética acaba en 10, pero suma 30; la geométrica acaba en 32, pero suma 62.
Comprueba las sumas con las fórmulas
S₅ = 5 × (2 + 10) ÷ 2 = 30
S₅ = 2 × (1 − (2)⁵) ÷ (1 − (2)) = 62
Sumamos solo los términos mostrados: son sumas finitas, no sumas hasta el infinito. Los valores de estos controles se muestran con hasta siete decimales, sin redondear cada paso del cálculo.
¿Por qué hay n − 1 saltos y no n?
El primer término ya está dado. Para llegar al segundo haces una operación; para llegar al tercero, dos. Si eliges un único término, no sumas ni multiplicas ninguna vez y ambas sumas coinciden con el valor inicial.
¿Qué ocurre con la razón cero o con un inicio cero?
Si r = 0, tras la primera multiplicación todos los términos siguientes valen cero. Si el primer término ya es cero, la serie geométrica se mantiene en cero con cualquiera de las razones disponibles. En esos casos no puedes dividir por cero para deducir una razón: utiliza la regla de multiplicar el término anterior por r.
Ilustraciones y ejemplos propios. Referencias: OpenStax: sucesiones aritméticas y geométricas. No se guarda ni envía ningún dato.
4. Qué indican el signo y el tamaño del cambio
| Regla | Comportamiento habitual |
|---|---|
| d > 0 | La progresión aritmética aumenta |
| d < 0 | La progresión aritmética disminuye |
| |r| > 1 | La magnitud geométrica crece |
| 0 < |r| < 1 | La magnitud se aproxima a cero |
| r < 0 | Los signos alternan |
Una razón negativa combina multiplicación y alternancia de signo. Una razón igual a cero produce el primer término seguido de ceros. Estos casos siguen siendo geométricos, aunque no se parezcan al crecimiento exponencial más conocido.
Errores frecuentes
- Usar n en el exponente o en la diferencia cuando desde a₁ solo hay n − 1 pasos.
- Confundir una suma repetida con una multiplicación repetida.
- Aplicar la fórmula geométrica de suma con r = 1, lo que provocaría una división entre cero.
- Suponer que una razón negativa siempre hace disminuir los valores.
- Redondear cada término antes de calcular la suma final.
Ponlo en práctica