Un sistema lineal busca una pareja (x,y) que satisfaga simultáneamente dos igualdades. En la forma a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂, cada fila aporta una condición sobre las mismas incógnitas.
1. Colocar términos equivalentes en columnas
Antes de operar, lleva las incógnitas al miembro izquierdo y los términos independientes al derecho. Mantén x debajo de x, y debajo de y y los resultados en la misma columna.
2x + y = 7 · x − y = 2Un término ausente tiene coeficiente cero. La ecuación x = 4 puede escribirse como x + 0y = 4. Los signos negativos pertenecen al coeficiente que los sigue.
2. Sustitución y reducción
En sustitución se despeja una incógnita y se reemplaza en la otra ecuación. Desde x − y = 2 obtenemos x = y + 2:
2(y + 2) + y = 7 → 3y = 3 → y = 1 → x = 3En reducción se suman o restan ecuaciones después de ajustar sus coeficientes para eliminar una incógnita. En este ejemplo, sumar directamente las dos filas elimina y:
(2x + y) + (x − y) = 7 + 2 → 3x = 9 → x = 33. Resolver mediante determinantes
La regla de Cramer construye tres determinantes. El principal utiliza los coeficientes de x e y; Dₓ sustituye la columna de x por los resultados y Dᵧ sustituye la de y:
D = a₁b₂ − a₂b₁ · Dₓ = c₁b₂ − c₂b₁ · Dᵧ = a₁c₂ − a₂c₁Para el sistema anterior, D = −3, Dₓ = −9 y Dᵧ = −3. Por tanto, x = Dₓ/D = 3 e y = Dᵧ/D = 1.
Este reparto solo puede hacerse si D es distinto de cero. Dividir entre un determinante nulo ocultaría que el sistema necesita otra clasificación.
4. Una, ninguna o infinitas soluciones
| Condición | Clasificación | Geometría |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | Compatible determinado | Un punto de corte |
| D = 0 y aparece una contradicción | Incompatible | Rectas paralelas |
| D = 0 y las ecuaciones son equivalentes | Compatible indeterminado | La misma recta |
x + y = 3 y 2x + 2y = 8 son incompatibles: duplicar la primera exigiría 2x + 2y = 6, no 8. En cambio, si la segunda fuese 2x + 2y = 6, ambas describirían la misma recta y habría infinitas soluciones.
También existen filas degeneradas. 0x + 0y = 0 no añade ninguna condición; 0x + 0y = 5 es una contradicción y hace imposible todo el sistema.
Comprobar la pareja
Sustituye x e y en las dos ecuaciones originales. Para (3,1), obtenemos 2 × 3 + 1 = 7 y 3 − 1 = 2. Comprobar ambas filas detecta errores de signo que una sola igualdad podría dejar pasar.
Errores frecuentes
- Intercambiar el orden de los coeficientes entre las dos filas.
- Cambiar un signo al pasar un término de miembro.
- Multiplicar solo parte de una ecuación durante la reducción.
- Dividir entre D cuando el determinante es cero.
- Aceptar una pareja porque satisface solo una de las ecuaciones.
Ponlo en práctica