Un sistema lineal busca una pareja (x,y) que satisfaga simultáneamente dos igualdades. En la forma a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂, cada fila aporta una condición sobre las mismas incógnitas.
1. Colocar términos equivalentes en columnas
Antes de operar, lleva las incógnitas al miembro izquierdo y los términos independientes al derecho. Mantén x debajo de x, y debajo de y y los resultados en la misma columna.
2x + y = 7 · x − y = 2Un término ausente tiene coeficiente cero. La ecuación x = 4 puede escribirse como x + 0y = 4. Los signos negativos pertenecen al coeficiente que los sigue.
2. Sustitución y reducción
En sustitución se despeja una incógnita y se reemplaza en la otra ecuación. Desde x − y = 2 obtenemos x = y + 2:
2(y + 2) + y = 7 → 3y = 3 → y = 1 → x = 3En reducción se suman o restan ecuaciones después de ajustar sus coeficientes para eliminar una incógnita. En este ejemplo, sumar directamente las dos filas elimina y:
(2x + y) + (x − y) = 7 + 2 → 3x = 9 → x = 33. Resolver mediante determinantes
La regla de Cramer construye tres determinantes. El principal utiliza los coeficientes de x e y; Dₓ sustituye la columna de x por los resultados y Dᵧ sustituye la de y:
D = a₁b₂ − a₂b₁ · Dₓ = c₁b₂ − c₂b₁ · Dᵧ = a₁c₂ − a₂c₁Para el sistema anterior, D = −3, Dₓ = −9 y Dᵧ = −3. Por tanto, x = Dₓ/D = 3 e y = Dᵧ/D = 1.
Este reparto solo puede hacerse si D es distinto de cero. Dividir entre un determinante nulo ocultaría que el sistema necesita otra clasificación.
Una solución debe estar en las dos rectas
Cada recta representa todas las parejas que cumplen una ecuación. La solución del sistema debe pertenecer a ambas a la vez; no basta con que esté sobre una de ellas.
Comprueba la idea: ¿La pareja (4, 1) también resuelve este sistema?
Ver la explicación
No. Cumple 4 + 1 = 5, pero 4 − 1 = 3, no 1. La pareja (3, 2) sí cumple simultáneamente las dos condiciones.
Dos condiciones, una pareja de valores
¿Dónde coinciden las dos rectas?
Cada ecuación dibuja una recta. Buscamos los puntos que pertenecen a las dos a la vez. Aquí usamos y = mx + c: m cambia la inclinación y c indica dónde se corta el eje vertical.
Ejemplo resuelto: y = x + 1 e y = −x + 3 se cruzan en (1; 2). Con x = 1, ambas ecuaciones dan y = 2. Activa JavaScript para mover las rectas.
Recta 1 · continuay = x + 1
Recta 2 · discontinuay = −x + 3
Resultado del sistema
Una solución
(x; y) = (1; 2)
Coordenadas enteras exactas.
Las pendientes son distintas: las rectas se cruzan una sola vez.
En la forma −mx + y = c, este es el determinante de los coeficientes. Si D no es cero, hay una solución única.
Escala fija de −10 a 10 en ambos ejes, con la misma unidad de dibujo. Las rectas continúan fuera del recuadro. Las guías punteadas del punto ayudan a leer sus coordenadas. La línea verde sigue viéndose entre los trazos dorados cuando ambas coinciden.
Cómo sale la solución por igualación
Igualamos las dos expresiones de y: (m₁ − m₂)x = c₂ − c₁.
2x = 2 → x = 1
Después sustituimos x en cualquiera de las rectas para obtener y = 2.
Comprueba las dos ecuaciones
Recta 1: (1) × (1) + (1) = 2
Recta 2: (−1) × (1) + (3) = 2
Las dos dan la misma y para la misma x. Por eso la pareja (1; 2) es solución del sistema.
¿Y si una recta es vertical?
Una recta x = k no se escribe como y = mx + c con una pendiente finita. Este laboratorio se centra en rectas no verticales, incluidas las horizontales. La calculadora de sistemas trabaja con la forma general ax + by = c, que también admite rectas verticales y las filas degeneradas explicadas en la guía.
Gráfica y ejemplos propios. Referencia: OpenStax: sistemas de dos ecuaciones. No se guarda ni envía ningún dato.
4. Una, ninguna o infinitas soluciones
| Condición | Clasificación | Geometría |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | Compatible determinado | Un punto de corte |
| D = 0 y aparece una contradicción | Incompatible | Rectas paralelas |
| D = 0 y las ecuaciones son equivalentes | Compatible indeterminado | La misma recta |
x + y = 3 y 2x + 2y = 8 son incompatibles: duplicar la primera exigiría 2x + 2y = 6, no 8. En cambio, si la segunda fuese 2x + 2y = 6, ambas describirían la misma recta y habría infinitas soluciones.
También existen filas degeneradas. 0x + 0y = 0 no añade ninguna condición; 0x + 0y = 5 es una contradicción y hace imposible todo el sistema.
Comprobar la pareja
Sustituye x e y en las dos ecuaciones originales. Para (3,1), obtenemos 2 × 3 + 1 = 7 y 3 − 1 = 2. Comprobar ambas filas detecta errores de signo que una sola igualdad podría dejar pasar.
Errores frecuentes
- Intercambiar el orden de los coeficientes entre las dos filas.
- Cambiar un signo al pasar un término de miembro.
- Multiplicar solo parte de una ecuación durante la reducción.
- Dividir entre D cuando el determinante es cero.
- Aceptar una pareja porque satisface solo una de las ecuaciones.
Ponlo en práctica